Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC⊥EF交BC于点D，交AB于点E，延长ED到F，使EF=AC，连接CF、BF．
（1）四边形ACFE是平行四边形吗？说说你的理由．
（2）当点D在BC的什么位置时，四边形BECF是菱形？并予以证明．
（3）四边形BECF可以是正方形吗？为什么？

Answer 1

考点：正方形的判定,平行四边形的判定,菱形的判定

专题：证明题

分析：（1）先证明EF∥AC，再由EF=AC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形ACFE是平行四边形；
（2）当点D在BC的中点时，四边形BECF是菱形．先证明AE=BE，再由四边形ACFE是平行四边形，得出CF∥AB，CF=AE，则BE=CF，BE∥CF，于是四边形BECF是平行四边形，又BC⊥EF，从而证明平行四边形BECF是菱形；
（3）当Rt△ABC是等腰直角三角形，并且点D为BC的中点时，四边形BECF可以是正方形．先由（2）知，当点D在BC的中点时，四边形BECF是菱形，且AE=BE．由等腰三角形三线合一的性质得出∠BEC=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形得出菱形BECF是正方形．

解答：解：（1）四边形ACFE是平行四边形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵BC⊥EF，
∴EF∥AC，
∵EF=AC，
∴四边形ACFE是平行四边形；

（2）当点D在BC的中点时，四边形BECF是菱形．理由如下：
∵EF∥AC，点D在BC的中点，
∴AE=BE，
∵四边形ACFE是平行四边形，
∴CF∥AB，CF=AE，
∴BE=CF，BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵BC⊥EF，
∴平行四边形BECF是菱形；

（3）当Rt△ABC是等腰直角三角形，并且点D为BC的中点时，四边形BECF可以是正方形．理由如下：
由（2）知，当点D在BC的中点时，四边形BECF是菱形，且AE=BE．
∵等腰直角三角形ABC中，AC=BC，AE=BE，
∴CE⊥AB，∠BEC=90°，
∴菱形BECF是正方形．

点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、等腰三角形的性质以及正方形的判定，解题的关键是掌握各种特殊几何图形的判定方法和各种性质．