Question

9．如图，在⊙O中，直径AB交弦CD于点G，CG=DG，⊙O的切线BE交DO的延长线于点E，F是DE与⊙O的交点，连接BD，BF．
（1）求证：∠CDE=∠E；
（2）若OD=4，EF=1，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由在⊙O中，直径AB交弦CD于点G，CG=DG，根据垂径定理即可得AB⊥CD，又由BE是⊙O的切线，易证得CD∥BE，即可证得结论；
（2）易证得△ODG∽△OEB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OG的长，由勾股定理即可求得DG的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵在⊙O中，直径AB交弦CD于点G，CG=DG，
∴AB⊥CD，
∵BE是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∴CD∥BE，
∴∠CDE=∠E；

（2）解：∵∠CDE=∠E，∠DOG=∠BOE，
∴△ODG∽△OEB，
∴$\frac{OG}{OB}=\frac{OD}{OE}$，
∵OD=4，EF=1，
∴OB=OF=OD=4，
∴OE=OF+EF=5，
∴$\frac{OG}{4}=\frac{4}{5}$，
∴OG=$\frac{16}{5}$，
∴DG=$\sqrt{O{D}^{2}-O{G}^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
∴CD=2DG=$\frac{24}{5}$．

点评 此题考查了切线的性质、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．注意证得△ODG∽△OEB是解此题的关键．