Question

19．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，⊙O与AB相切，且点0到直线AB的距离等于△ABC中AB边上的高，与边AC，BC分别相交于点M，N，若⊙0半径为2，当⊙0在边AB上滚动时，则$\widehat{MN}$的长为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$π
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$π
• C． π
• D． 无法确定

Answer 1

分析 作CD⊥AB垂足为F，点F是切点，LJ OF，OC，作OK⊥AC，OJ⊥BC垂足分别为K、J，先证明△OJC≌△OKH，得OK=OJ再证明RT△OJN≌RT△OKM得到∠NOJ=∠MOK，即可证明∠MON=90°，利用弧长公式求MN的弧长．

解答 解：如图：作CD⊥AB垂足为F，点F是切点，LJ OF，OC，作OK⊥AC，OJ⊥BC垂足分别为K、J．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵⊙O与AB相切于点F，且点0到直线AB的距离等于△ABC中AB边上的高
∴OF⊥AB，∵CD⊥AB，
∴OF∥CD，OF=CD，
∴四边形OFDC是平行四边形，
∵∠CDA=90°，
∴四边形OFDC是矩形，
∴OC∥AB，∠COH=90°，
∴∠OCH=∠A=45°，
∴∠OHC=∠OCA=45°，
∴OC=OH，
∵∠OCB=∠OCA+∠ACB=135°，
∴∠OCJ=45°，
在△OJC和△OKH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠J=∠OKC=90°}\\{∠OCJ=∠OHK}\\{OC=OH}\end{array}\right.$，
∴△OJC≌△OKH，
∴OK=OJ，
在RT△OJN和RT△OKM中，
$\left\{\begin{array}{l}{ON=OM}\\{OJ=OK}\end{array}\right.$，
∴△OJN≌△OKM，
∴∠NOJ=∠MOK，
∵∠J=∠OKC=∠JCK=90°，
∴∠JOK=90°，
∵∠NOJ=∠MOK，
∴∠MON=∠JOK=90°
∴$\widehat{MN}$的弧长为=$\frac{1}{4}$•2π•2=π．
故选C．

点评 本题考查圆的有关性质．矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、弧长公式等知识，添加辅助线构造全等三角形时解题的关键．