Question

14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O与AB相切于D，交AC于点E，OB交CD于F．
（1）证明：OB•DE=$\frac{1}{2}$CE²；
（2）若$\frac{OF}{OB}$=$\frac{1}{5}$，AB=10，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）先证明△COF∽△BOC，可得OC²=OF•OB，再根据CE=2OC，DE=2OF，即可解决问题；
（2）由OF：OB=1：5，设OF=a，OB=5a，则DE=2a．由DE∥OB，推出$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{OB}$=$\frac{2}{5}$，推出AD=4，BD=6，根据$\frac{1}{2}$CE²=DE•OB=10a²，推出CE=2$\sqrt{5}$a，推出OD=$\sqrt{5}$a，在Rt△BDO中，根据BD²+OD²=OB²，列出方程求出a即可解决问题；

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，∵AB是⊙O的切线，
∴BC=BD，∵OD=OC，
∴OB垂直平分CD，
∴CF=DF，∵OC=OE，
∴DE=2OF，
∵∠COF=∠BOC，∠CFO=∠OCB=90°，
∴△COF∽△BOC，
∴OC²=OF•OB，
∴4OC²=4OF•OB=2DE•OB，
∴CE²=2DE•OB，
∴$\frac{1}{2}$CE²=DE•OB．

（2）∵OF：OB=1：5，设OF=a，OB=5a，则DE=2a．
∵CE是直径，
∴∠CDE=90°，
∴∠CFO=∠CDE=90°，
∴DE∥OB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{OB}$=$\frac{2}{5}$，
∴AD=4，BD=6，
∵$\frac{1}{2}$CE²=DE•OB=10a²，
∴CE=2$\sqrt{5}$a，
∴OD=$\sqrt{5}$a，
在Rt△BDO中，BD²+OD²=OB²，
∴36+5a²=25a²，
∴a²=$\frac{9}{5}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴OD=3，
∴⊙O的半径为3．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．