Question

5．如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论：①b²＞4ac；②ac＞0； ③a-b+c＞0； ④不等式ax²+bx+c＞0的解集是-1＜x＜3；⑤当x＞1时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是（　　）

• A． ①②③
• B． ①④⑤
• C． ③④⑤
• D． ①③⑤

Answer 1

分析 由抛物线的位置以及对称轴易判断a，b，c的符号以及判别式的符号，再由对称性可求得抛物线与x轴的另一交点坐标为（-1，0），容易判断④，根据抛物线的增减性即可判断⑤．

解答 解：
∵二次函数y=ax²+bx+c过点A （3，0），对称轴是x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（-1，0），
∴当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，故③错误；
∵开口向下，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b²-4ac＞0，即b²＞4ac，故①正确；
∵二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴是x=1，
∴二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），
结合图象可知当-1＜x＜3，ax²+bx+c＞0，
∴不等式ax²+bx+c＞0的解集是-1＜x＜3，故选项④正确；
由图象和二次函数图象的对称轴是x=1，可得当x＞1时，y随x的增大而减小，故选项⑤正确，
故选B．

点评 此题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握a、b、c与二次函数的图象的关系是解题的关键，注意数形结合思想的应用．