Question

2．观察下列等式
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
（1）直接写出$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=$\frac{3}{4}$
（2）求$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{9×10}$的值（要求写出过程）
（3）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
（4）直接写出下式的计算结果：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2006×2007}$=$\frac{2006}{2007}$．

Answer 1

分析 （1）（2）根据已知等式解答即可；
（3）根据已知等式可得第n个等式为$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（4）根据规律计算即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$；
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{9×10}$
=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$
=$\frac{9}{10}$；
（3）$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（4）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2006×2007}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2006}-\frac{1}{2007}=\frac{2006}{2007}$；
故答案为：$\frac{3}{4}；\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}；\frac{2006}{2007}$

点评 本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．