Question

7．综合与实践
问题背景：
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题．
如图1，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，AB=4．
操作与发现：
（1）如图2，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置后，经过观察发现四边形ACBF是矩形，请你证明这个结论．
操作与探究：
（2）创新小组在图2的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至如图3的位置，其中点E与AB的中点重合，连接CE，BF．经过探究后发现四边形BCEF是菱形．请你证明这个结论．
（3）创新小组在图3的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图4所示，连接AF，BF，创新小组经过观察与推理后发现四边形ACBF是矩形．请你证明这个结论．
提出问题：
（4）请你参照以上操作过程，利用图1中的两个三角形纸片，拼出新的图形，在图5中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，并提出一个所要探究的问题，不必解答．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的判断方法先判断出四边形ACBF是平行四边形，即可得出结论；
（2）先求出∠BAC=30°，再判断出四边形BCEF是平行四边形，进而判断出BC=CE，即可得出结论；
（3）先求出∠ABC=60°，进而判断出△AEF是等边三角形，即可判断出四边形ACBF是平行四边形，即可得出结论；
（4）先根据平移设置题目，利用相似三角形，表示出FQ，利用面积相等建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF=BF，BC=EF=AF，
在四边形ACBF中，AC=BF，BC=AF，
∴四边形ACBF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴?ACBF是矩形；

（2）在Rt△ABC中，sinA=$\frac{BC}{AB}=\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAC=30°，
∵△ABC≌△DEF与平移可知，BC=EF，BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴点E与AB的中点重合，∠BAC=30°，
∴BC=CE=$\frac{1}{2}$AB，在?BCEF中，
∵BC=CE，
∴?BCEF是菱形；

（3）在Rt△ABC中，∵∠BAC+∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵△ABC≌△DEF，点E是AB中点，
∠BAC=30°，
∴EF=AE=BC，∠DEF=60°，
∵DE∥BC，
∴∠BED=∠ABC=60°，
∴∠AEF=180°-∠DEF-∠BED=60°，
∴AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，AF=AE，
∵AE=BC，AF=BC，
∵∠EAF=∠ABC=60°，
∴AF∥BC，
在四边形ACBF中，AF=BC，AF∥BC，
∴四边形ACBF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴?ACBF是矩形；

（4）构图方法：将△DEF纸片按图所示方式放置，点C，F，B，E在同一条直线上，DF交AB于点Q，
提问：当△BFQ的面积等于四边形CFQA的面积时，求CF的长．
解：在Rt△ABC中，BC=2，AB=4，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
设CF=x，则BF=2-x，
由平移知，AC∥QF，
∴△BFQ∽△BCA，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{FQ}{AC}$，
∴$\frac{2-x}{2}=\frac{FQ}{2\sqrt{3}}$，
∴FQ=$\sqrt{3}$（2-x），
∴S_△BFQ=$\frac{1}{2}$BF•FQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-x）²，
∵△BFQ的面积等于四边形CFQA的面积，
∴S_△BFQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$BC×AC=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-x）²=$\sqrt{3}$，
∴x=2+$\sqrt{2}$（舍）或x=2-$\sqrt{2}$，
即：CF的长为2-$\sqrt{2}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形，矩形的判断和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断四边形ACBF是平行四边形，解（2）的关键是判断出BE=CE，解（3）的关键是判断出△AEF是等边三角形，解（4）的关键是利用面积建立方程求解．