Question

16．如图，直线y=$\frac{4}{3}$x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴上的一个动点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当点P在x轴正半轴，且△APB的面积为8时，求直线PB的解析式；
（3）点Q在第二象限，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的特点即可得出结论；
（2）设出点P坐标，利用△PAB的面积建立方程求出P的坐标，最后用待定系数法求解即可；
（3）先判断出点Q在直线y=4上，再分两种情况讨论计算即可．

解答 解：（1）令x=0时，y=4，
∴B（0，4），
令y=0时，$\frac{4}{3}$x+4=0，
∴x=-3，
∴A（-3，0）；

（2）设点P（m，0）（m＞0），
∵A（-3，0），
∴AP=m-（-3）=m+3，
∵△APB的面积为8，
∴S_△APB=$\frac{1}{2}$AP×OB=$\frac{1}{2}$（m+3）×4=8，
∴m=1，
∴P（1，0），
∵B（0，4），
∴设直线PB的解析式为y=kx+4，
∴k+4=0，
∴k=-4，
∴直线PB的解析式为y=-x+4；

（3）如图，
∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，且P在x轴上，
∴BQ∥AP，
∴点Q在直线y=4上，
由（1）知，A（-3，0），B（0，4），
∴AB=5，
∵点Q在第二象限内，
∴①当AB为菱形的边时，
∴BQ'=AB=5，
∴Q'（-5，4），
②当AB为菱形的对角线时，AB，PQ互相垂直平分，
∵直线AB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+4，
∴直线PQ的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{8}$，
当y=4时，则-$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{8}$=4，
∴x=-$\frac{25}{6}$，
∴Q（-$\frac{25}{6}$，4），
∴满足条件的点Q的坐标为（-5，4）或（-$\frac{25}{6}$，4）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，菱形的性质，用方程的思想解决问题是就本题的关键．