Question

17．如图，在平面直角坐标系中有一个?ABCD，其中点A（-2，0），B（2，0），C（6，4），已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象恰好经过点D．点P是该反比例函数图象上的一个动点，且点P在该反比例函数图象上的第一象限内，当S_△PAB=S_△ODE时（两三角形面积相等），求点P的坐标．

Answer 1

分析 先根据A、B两点的坐标得出AB的长与点D的坐标，故可得出反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，求出E点坐标，根据S_△ODE=S_{平行四边形ABCD}-S_△AOD-S_△OBE-S_△CDE得出△ODE的面积，再设P（x，y）求出y的值即可得出结论．

解答 解：∵点A（-2，0），B（2，0），C（6，4），
∴AB=4，D（2，4），
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}2k+b=0\\ 6k+b=4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-2\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\ y=\frac{8}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=2\end{array}\right.$，
∴E（4，2），
∴S_△ODE=S_{平行四边形ABCD}-S_△AOD-S_△OBE-S_△CDE
=4×4-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×4×2
=16-4-2-4
=6．
设P（x，y），
∵S_△PAB=S_△ODE，
∴$\frac{1}{2}$×4y=6，解得y=3，
∴x=$\frac{8}{3}$，
∴P（3，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的性质等知识，难度适中．