Question

9．如图所示，已知D，E分别是△ABC的边BC，AB上的点，AD，CE交F，BF，DE交于G，过G作BC的平行线MN，交AB，CE，AC于M，H，N，求证：GH=NH．

Answer 1

分析 过点E作ES∥BC，交AC于点S，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{CS}{SA}=\frac{BE}{EA}$、$\frac{FG}{GB}=\frac{FH}{HC}$，然后由梅捏劳斯定理得到$\frac{AD}{DF}•\frac{FG}{GB}•\frac{BE}{EA}=1$，从而得到$\frac{GH}{CD}=\frac{EG}{ED}=\frac{SN}{SC}=\frac{HN}{CD}$，最后证得GH=HN．

解答 解：过点E作ES∥BC，交AC于点S，
∴$\frac{CS}{SA}=\frac{BE}{EA}$，
∵NM∥BC，
∴$\frac{FG}{GB}=\frac{FH}{HC}$，
对于△ABF及截线EGD，由梅捏劳斯定理可得：
$\frac{AD}{DF}•\frac{FG}{GB}•\frac{BE}{EA}=1$，
∴$\frac{AD}{DF}•\frac{FH}{HC}•\frac{CS}{SA}=1$，
由梅捏劳斯定理可知：S、H、D共线，
∴$\frac{GH}{CD}=\frac{EG}{ED}=\frac{SN}{SC}=\frac{HN}{CD}$，
∴GH=HN．

点评 本题考查了梅涅劳斯定理的知识，解题的关键是了解梅捏劳斯定理的内容，综合性较强，难度较大．