Question

12．如图，四边形ABCD中，EF过对角线交点，且OB+BE=OD+DF，若OE=OF，证明四边形ABCD为平行四边形．

Answer 1

分析 延长OB至G，使BG=BE；延长OD至H，使DH=DF；由等腰三角形的性质得出∠1=∠G，∠H=∠2，证出OG=OH，由SAS证明△GOE≌△HOF，得出∠G=∠H，证出∠3=∠4，证出AB∥CD，由AAS证明△BOE≌△DOF，得出BE=DF，同理：AE=CF，得出AB=CD，即可得出结论．

解答 证明：延长OB至G，使BG=BE；延长OD至H，使DH=DF；如图所示：
则∠1=∠G，∠H=∠2，
∴∠3=2∠G，∠4=2∠H，
∵OG=OB+BG，OH=OD+DH，OB+BE=OD+DF，
∴OG=OH，
在△GOE和△HOF中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}&{\;}\\{∠EOG=∠FOH}&{\;}\\{OG=OH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GOE≌△HOF（SAS），
∴∠G=∠H，
∴∠3=∠4，
∴AB∥CD，
∴∠5=∠6，
在△BOE和△DOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}&{\;}\\{∠BOE=∠DOF}&{\;}\\{OE=OF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴BE=DF，
同理：AE=CF，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定方法、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．