Question

14．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且满足b²+2ab=c²+2ac．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若a=6，b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得出b²-c²+2ab-2ac=0，用分组分解法进行因式分解得出（b-c）（b+c+2a）=0，得出b-c=0，因此b=c，即可得出结论；
（2）作△ABC底边BC上的高AD．根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=3，利用勾股定理求出AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，再根据三角形的面积公式即可求解．

解答 解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b²+2ab=c²+2ac，
∴b²-c²+2ab-2ac=0，
因式分解得：（b-c）（b+c+2a）=0，
∴b-c=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）如图，作△ABC底边BC上的高AD．
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×6×4=12．

点评 本题考查了因式分解的应用、等腰三角形的判定、勾股定理以及面积的计算；运用因式分解求出b=c是解决问题的关键．