Question

1．如图，已知点A是⊙O上一点，直线MN过点A，点B是MN上的另一点，点C是OB的中点，AC=$\frac{1}{2}$OB，若点P是⊙O上的一个动点，且∠OBA=30°，AB=$2\sqrt{3}$时，求△APC的面积的最大值．

Answer 1

分析 连接OA，过点O作OE⊥AC于E，延长EO交圆于点F，则P（F）E是△PAC的AC边上的最大的高，根据已知及三角函数求得AC，PE的值，再根据三角形的面积公式求得△APC的面积的最大值．

解答 解：连接OA；
∵C是OB的中点，且AC=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠OAB=90°，
∴∠AOB=60°，又AB=$2\sqrt{3}$，
∴OA=AC=2；
过点O作OE⊥AC于E，延长EO交圆于点F，则P（F）E是△PAC的AC边上的最大的高；
在△OAE中，OA=2，∠AOE=30°，
∴OE=$\sqrt{3}$，
∴FE=2+$\sqrt{3}$，
∴△APC的面积的最大值为$\frac{1}{2}$×AC×FE=2$+\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是切线的判定和性质、圆的有关性质，正确作出辅助性、灵活运用相关定理是解题的关键．