对x.y定义一种新运算x[]y=$\frac{ax-2by}{2x+y}$.这里等式右边是通常的四则混合运算.例如:0[]2=$\frac{a×0-2×b×2}{2×0+2}$=-2b．(1)已知1[]2=3.-1[]3=-2．请解答下列问题．①求a.b的值,②若M=(m2-m-1)[](2m-2m2).则称M是m的函数.当自变量m在-1≤m≤3的范围内取值时.函数值M为整数的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．对x，y定义一种新运算x[]y=$\frac{ax-2by}{2x+y}$（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则混合运算，例如：0[]2=$\frac{a×0-2×b×2}{2×0+2}$=-2b．
（1）已知1[]2=3，-1[]3=-2．请解答下列问题．
①求a，b的值；
②若M=（m²-m-1）[]（2m-2m²），则称M是m的函数，当自变量m在-1≤m≤3的范围内取值时，函数值M为整数的个数记为k，求k的值；
（2）若x[]y=y[]x，对任意实数x，y都成立（这里x[]y和y[]x均有意义），求a与b的函数关系式？

分析（1）①结合新运算的定义，代入数据，解二元一次方程组即可得出结论；
②将a、b的值代入原定义式中，用m表示出M，由二次函数的性质即可找出M的取值范围，从而得出k的值；
（2）x[]y=y[]x得出关于a、b、x、y的等式，由对任意实数x，y都成立，找出恒为0的代数式a+4b=0，从而得出结论．

解答解：（1）①由1[]2=3，-1[]3=-2，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-4b=12}\\{-a-6b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
答：a的值为8，b的值为-1．
②把a=8，b=-1代入x[]y=$\frac{ax-2by}{2x+y}$，得x[]y=$\frac{8x+2y}{2x+y}$，
M=（m²-m-1）[]（2m-2m²）=-2m²+2m+4=-2${（m-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{9}{2}$，
又∵-1≤m≤3，
∴当m=$\frac{1}{2}$时，M取最大值$\frac{9}{2}$；
当m=-1时，M=0；
当m=3时，M=-8．
∴-8≤M≤$\frac{9}{2}$=4$\frac{1}{2}$，
∴k=8+4+1=13．
（2）∵x[]y=y[]x，
∴$\frac{ax-2by}{2x+y}$=$\frac{ay-2bx}{2y+x}$，
∴ay²-ax²+4by²-4bx²=0，
∴a（y²-x²）+4b（y²-x²）=0，
即（a+4b）（y²-x²）=0．
∵对任意实数x，y都成立，
∴a+4b=0，
∴a=-4b．

点评本题考查了解二元一次方程组以及二次函数的性质，解题的关键：（1）①代入数据解二元一次方程组；②结合二次函数的性质寻找最值；（2）代入定义式，寻找恒为0的量．本题属于中档题，难度不大，但是由于涉及到新的运算规则，不少学生会放弃该题，其实在解决新定义类型的题目时，运算都是很简单的，只要牢记运算的规则，套入给定的例子即可得出结论．