Question

8．已知抛物线y=ax²+bx+c的图象过A（2，0），B（0，2），C（4，2）三点．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）已知E点坐标为（4，0），将抛物线沿直线AB移动，其顶点P保持在直线AB上，与直线AB的另一个交点为Q，求PE+CQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求解；
（2）先确定直线AB的解析式为y=-x+2，则设P（t，-t+2），利用平移可得到Q（t-2，-t+4），利用两点间的距离公式得到PE+CQ=$\sqrt{（t-4）^{2}+（-t+2）^{2}}$$\sqrt{（t-6）^{2}+（-t+2）^{2}}$=$\sqrt{2{t}^{2}-12t+20}$+$\sqrt{2{t}^{2}-16t+40}$，然后利用不等式的性质求PE+CQ的最小值．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{c=2}\\{16a+4b+c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x+2；
（2）直线AB的解析式为y=-x+2，
设P（t，-t+2），则Q（t-2，-t+4）
所以PE+CQ=$\sqrt{（t-4）^{2}+（-t+2）^{2}}$$\sqrt{（t-6）^{2}+（-t+2）^{2}}$
=$\sqrt{2{t}^{2}-12t+20}$+$\sqrt{2{t}^{2}-16t+40}$
=$\sqrt{2}$（$\sqrt{（t-3）^{2}+1}$+$\sqrt{（t-4）^{2}+4}$）≥$\sqrt{2}$•$\sqrt{10}$，
所以PE+CQ的最小值为2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．记住a+b≥2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0，当且仅当a=b时取等号）．