Question

18．已知正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，连按CF，过点D作DG⊥CF于点G，连接BG，则BG=$\frac{4}{5}\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 先根据勾股定理和三角形的面积求出AF=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，再利用相似三角形得出的比例式求出FM=$\frac{8}{5}$，AM=$\frac{4}{5}$，由线段的和差求出FP，FN，再用勾股定理得出FC，从而判断出DG=FP=$\frac{16}{5}$．进而用勾股定理得出CG，再用比例式得出GQ，CQ，最后用勾股定理即可．

解答 解：过点F作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N，FP⊥CD于P，GQ⊥BC于Q，
∵点E是AB中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=2，
根据勾股定理得，ED=2$\sqrt{5}$，
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$DE×AF=$\frac{1}{2}$AD×AE，
∴AF=$\frac{AD×AE}{ED}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∵AF⊥DE，
∴∠EAF+∠AEF=90°，
∵∠EAF+∠DAF=90°，
∴∠AEF=∠DAF，
∵∠AMF=∠EAD，
∴△FAM∽△DEA，
∴$\frac{FM}{AF}=\frac{AD}{ED}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{AM}{FM}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$
∴FM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$AF=$\frac{8}{5}$，
AM=$\frac{1}{2}$FM=$\frac{4}{5}$，
∴FP=MD=AD-AM=4-$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$，
FN=MN-MF=AB-MF=4-$\frac{8}{5}$=$\frac{12}{5}$，
根据勾股定理得，FC=$\sqrt{F{N}^{2}+N{C}^{2}}$=$\sqrt{F{N}^{2}+F{P}^{2}}$=4，
∵FP•CD=DG•FC，
∴DG=FP=$\frac{16}{5}$，
根据勾股定理得，CG=$\sqrt{C{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
∵GQ∥FN，
∴$\frac{GQ}{FN}=\frac{CG}{CF}=\frac{3}{5}$，
∴GQ=$\frac{3}{5}$FN=$\frac{36}{25}$，CQ=$\frac{3}{5}$CN=$\frac{48}{25}$，
∴BQ=BC-CQ=$\frac{52}{25}$，
根据勾股定理，得BG=$\sqrt{B{Q}^{2}+G{Q}^{2}}$=$\frac{4}{5}\sqrt{10}$，
故答案为：$\frac{4}{5}\sqrt{10}$．

点评 此题是正方形的性质，主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，解本题的关键是用勾股定理求出ED，FC，CG，BG，难点是作出辅助线，是一道比较难的中考常考题．