Question

3．定义：若两个正多边形边长之比为$\sqrt{2}：1$，则称这两个正多边形为母子多边形；保持各自的周长不变，从母子n边形变成母子（n+1）边形称为母子多边形的一次进化．如图2中的母子四边形就是由图1中的母子三角形进化得到的．
探索：
（1）一对母子三角形中，小三角形的边长为a，则对应的大三角形的边长为$\sqrt{2}a$，面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²；
（2）由（1）中这对母子三角形进化一次得到的母子多边形的边长为$\frac{3a}{4}$和$\frac{3\sqrt{2}a}{4}$，进化两次得到的母子多边形的边长为$\frac{3a}{5}$和$\frac{3\sqrt{2}a}{5}$，进化n次后，得到的母子多边形的边长为$\frac{3a}{n}$和$\frac{3\sqrt{2}a}{n}$．
应用：
如图，母子四边形FGHI和JHLK是由母子三角形ABC和ECD进化得到的，其中△ECD的边长为2cm，且BCDGHL六点都在同一条直线上，现将母子四边形的顶点G与母子三角形的顶点D重合，且母子四边形以1cm/s的速度匀速向左运动，直至点G与点C重合为止，将两组图形的重叠部分面积记为S（cm²）
①请你求出S关于运动时间t（s）的函数解析式，并写出相应的t的取值范围；
②求当t取何值时S最大，此时点G在什么位置？

Answer 1

分析 探索：
（1）根据母子多边形的定义即可求得大多边形的边长，进而求得正三角形的面积；
（2）根据进行变化的过程中边长不变，即可求解；
应用：
（3）求得FG正好在△CDE的边DE上时和FG正好在△CDE的边CE上时对应的t的值，然后利用三角形以及矩形的面积公式求解．

解答 解：探索：
（1）对应的大三角形的边长是：$\sqrt{2}$a，
则面积是：$\frac{\sqrt{3}（\sqrt{2}a）^{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²；
故答案是：$\sqrt{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²；
（2）小正三角形的周长是6a，则进化后的正四边形的边长是$\frac{6a}{4}$=$\frac{3a}{2}$．
大正三角形的周长是3$\sqrt{2}$a，则进化后的正四边形的边长是$\frac{3\sqrt{2}a}{4}$．
进化两次得到的母子多边形是正五边形，则边长分别是：$\frac{3a}{5}$和$\frac{3\sqrt{2}}{5}$a，
进化n次后，得到的母子多边形的边数是n+3，则进化n次后，得到的母子多边形的边长为$\frac{3}{n+3}$a和$\frac{3\sqrt{2}}{n+3}$a．
故答案是：$\frac{3a}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$a，$\frac{3a}{5}$，$\frac{3\sqrt{2}}{5}$a，$\frac{3}{n+3}$a，$\frac{3\sqrt{2}}{n+3}$a；
应用：
①正四边形的边长是：$\frac{2×3}{4}$=$\frac{3}{2}$．
△CDE的面积是：$\frac{\sqrt{3}×{2}^{2}}{4}$=$\sqrt{3}$（cm²），三角形的高长是$\sqrt{3}$，
则FG正好在△CDE的边DE上时，设平移的时间是ts，则$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{t}{1}$，
解得：t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
当0＜t$≤\frac{\sqrt{3}}{2}$时，重合部分是直角三角形，则S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²；
当FG正好在△CDE的边CE上时，平移的距离是2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（s）；
则当$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t≤2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$；
当2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t≤2时，S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2+2$\sqrt{3}$t-$\frac{11}{4}$$\sqrt{3}$+3．
则S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}（0＜t≤\frac{\sqrt{3}}{2}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac{3\sqrt{3}}{8}（\frac{\sqrt{3}}{2}＜t≤2-\frac{\sqrt{3}}{2}）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+2\sqrt{3}t-\frac{11}{4}\sqrt{3}+3（2-\frac{\sqrt{3}}{2}＜t≤2）}\end{array}\right.$；
②当t=2时，即G和C重合时，S_最大=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$+3．

点评 本题考查了图形的平移以及三角形的面积公式，正确对t进行讨论，利用三角形和矩形的面积公式求得S是本题的关键．