题目内容
17．已知等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，AB=BC，CD=DE，∠ABC=90°，∠CDE=90°，CD＞BC，取线段AE的中点M，连结BM、DM、BD．（1）如图1，当BC⊥CE时，连接AE，试猜想BM与MD的数量关系和位置关系，请直接写出答案；
（2）如图2，当点A、C、E三点在同一条直线上时，其他条件不变，试探究BM与MD的数量关系和位置关系，请说明理由．
分析 （1）如图1，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF，由平行线的性质得到∠1=∠MEF，∠ABM=∠EFM，通过证明△ABM≌△EFM，得到BM=MF，AB=EF，于是证得△BCD≌△FED，得到BD=DF，∠5=∠6，推出∠BDF=∠CDE=90°，因为BM=MF，得到△BDM是等腰直角三角形；
（2）如图2，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF，同理易证：△ABM≌△EFM得到AB=EF，BM=MF，∠A=∠MEF=45°，由于∠ACB=∠DCE=∠BCA=∠DEM=45°，得到∠BCD=∠DEF=90°，证得△BCD≌△FED，得到∠BDC=∠EDF，BD=DF，∠BDF=∠CDE=90°，推出△BDM是等腰直角三角形．
解答 证明：
（1）如图1，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF，
∴∠1=∠MEF，∠ABM=∠EFM，
在△ABM与△EFM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠MEF}\\{ABM=∠EFM}\\{AM=EM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△EFM，
∴BM=MF，AB=EF，
∵AB=BC，
∴BC=EF，
过C作CN⊥AE于N，
∵∠ABC=∠CDE=90°，
易得；∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠DEF=∠4+∠MEF=∠2+∠3=∠BCD，
在△BCD与△FED中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=DE}\\{∠BCD=∠DEF}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FED，
∴BD=DF，∠5=∠6，
∴∠BDF=∠CDE=90°，
∵BM=MF，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴BM=DM，BM⊥DM；
（2）如图2，过点E作EF∥AB交BM的延长线于一点F，连接DF，
同理易证：△ABM≌△EFM，
∴AB=EF，BM=MF，∠A=∠MEF=45°，
∵∠ACB=∠DCE=∠BCA=∠DEM=45°，
∴∠BCD=∠DEF=90°，
在△BCD与△FED中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=EF}\\{∠BCD=∠FED}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△FED，
∴∠BDC=∠EDF，BD=DF，
∴∠BDF=∠CDE=90°，
∵BM=MF，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴BM=DM，BM⊥DM．
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
字词句篇与同步作文达标系列答案
二次函数y=一x2+ax+b图象与x轴交于A（$-\frac{1}{2}$，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．
如图，△ABC中，BE、CD是AC、AB边上的中线，且BE、CD交于点O，则S△ODE：S四边形DBCE=（ ）| A． | 1：3 | B． | 1：9 | C． | 2：3 | D． | 1：4 |
如图，?ABCD的面积为12，E为BC中点，DE、AC交于F点，△EFC的面积为1．
如图，在平面直角坐标系中放置一顶点为A，B，O的直角三角形，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1O．抛物线y=-x2+x+2经过A，B，B1三点．
在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$），（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），…，都是和谐点．
如图，在直角坐标系中，半径为$\sqrt{5}$，圆心为M的⊙M经过A，B，C三点，已知点M的纵坐标为-1，点C的坐标为（0，3），OA：OB=1：3，⊙M与y轴交于点D