Question

如图，已知直线y=

1

2

x+2分别交x轴、y轴于点B、A，以AB为边在第二象限作正方形ABCD．
（1）求点C的坐标．
（2）点P在x轴正半轴上，且△BCP的面积等于正方形ABCD面积的一半，求点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求得直线与两坐标轴的交点坐标，然后作CE⊥x轴与E点，证得△AOB≌△BEC，从而得到EB=AO=2，EC=BO=4，从而确定点C的坐标；
（2）设点P的坐标为（x，0），利用△BCP的面积等于正方形ABCD面积的一半列出有关x的方程求得x的值后即可确定点P的坐标．

解答：解：（1）令y=

1

2

x+2=0，解得：x=-4，
令x=0，y=2，
∴点A（0，2），点B（-4，0），
∴AB=

42+22

=2

5

，
作CE⊥x轴与E点，
∵∠CBE+∠ECB=90°，∠CBE+∠ABO=90°，
∴∠ECB=∠ABO，
在△AOB和△BEC中，

∠ECB=∠ABO ∠CEB=∠O=90° AB=BC

∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴EB=AO=2，EC=BO=4，
∴点C的坐标为（-6，4）；

（2）设点P的坐标为（x，0）（x＞0），
∴PB=x+4，
∵△BCP的面积等于正方形ABCD面积的一半，
∴

1

2

PB•EC=

1

2

AB²，
即：

1

2

×4（x+4）=

1

2

×2

5

×2

5

解得：x=1，
∴点P的坐标为（1，0）；

点评：本题考查了一次函数的综合知识，解题的关键是能够将点的坐标和线段的长进行正确的转换，难度不是很大，是一道好题．