Question

如图，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线y=

1

4

x²上运动，且∠AOB=90°，给出下列结论：
①点（x₁，x₂）在反比例函数y=-

16

x

的图象上；
②直线AB与y轴交于定点（0，4）；
③若以AB为直径的圆与x轴相切，则y₁+y₂=8．
其中正确的结论是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：①点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线y=

1

4

x²上，则有y₁=

1

4

x₁²，y₂=

1

4

x₂²，x₁²=4y₁，x₂²=4y₂ 所以x₁²x₂²=16y₁y₂，有△AOC∽△ODB可得

-x1

y2

=

y1

x2

，即-x₁x₂=y₁y₂，所以x₁²x₂²=-16x₁x₂，即x₂=

-16

x1

，所以点（x₁，x₂）在反比例函数y=-

16

x

的图象上；
②点A（x₁，y₁）在抛物线y=

1

4

x²上，点（x₁，x₂）在反比例函数y=-

16

x

的图象上，交点就是点A，y=

1

4

x²，y=-

16

x

可求得点A的坐标A（-4，4），代入y=

1

4

x²上可求得点B坐标为（4，4），所以直线AB与y轴交于定点（0，4）；
③若以AB为直径的圆与x轴相切，圆心必定在y轴上，由于A（-4，4），B（4，4）．所以y₁+y₂=8．

解答：解：①作AC⊥X轴于C，BD⊥y轴于D
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线y=

1

4

x²上，
∴y₁=

1

4

x₁²，y₂=

1

4

x₂²，x₁²=4y₁，x₂²=4y₂ ，
∴x₁²x₂²=16y₁y₂，
∵∠AOB=90°
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠CAO+∠AOC=90°
∴∠BOD=∠CAO
∴△ACO∽△ODB
∴

-x1

y2

=

y1

x2

，即-x₁x₂=y₁y₂，
∴x₁²x₂²=-16x₁x₂，即x₂=

-16

x1

，
∴点（x₁，x₂）在反比例函数y=-

16

x

的图象上；
②设直线与抛物线y轴左边的交点为（x₁，y₁），右边为（x₂，y₂），
∵∠AOB=90，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠CAO+∠AOC=90°
∴∠BOD=∠CAO
∴△ACO∽△ODB
∴

-x1

y2

=

y1

x2

，即-x₁x₂=y₁y₂，
∴x₁²x₂²=-16x₁x₂，
代入解得x₁x₂=0（舍去）或-16，
∵

y=kx+b y= 1 4 x2

根据韦达定理得x₁x₂=-4b
所以-4b=-16，
解得b=4，
所以直线AB的解析式为y=kx+4
即过定点（0，4）
③∵A（-4，4），B（4，4），
∴y₁=4，y₂=4
∴y₁+y₂=8．
故选：D．

点评：本题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，以及三角形相似和圆的切线的性质和判定，有一定的难度．