Question

如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，弦AC=2

3

，△ACD为等边三角形，CD、AB相交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求⊙O的半径；
（3）求CE的长．

Answer 1

考点：垂径定理,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）先根据等边三角形的性质得出AC=AD，∠CAD=∠ADC=∠ACD=60°，故可得出

AC

=

AD

=

CD

，再由等边三角形的性质得出AB是CD的垂直平分线，故可得出结论；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，根据垂径定理求出AF的长，再由OA=

AF

cos30°

即可得出结论；
（3）直接根据垂径定理求出CE的长即可．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=∠ADC=∠ACD=60°，
∴

AC

=

AD

=

CD

，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴∠BAC=

1

2

∠CAD=30°；

（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∵AC=2

3

，
∴AF=

3

，
∴OA=

AF

cos30°

=

3

3 2

=

2

3

；

（3）∵由（1）知AB是CD的垂直平分线，
∴CE=

1

2

CD=

3

．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．