Question

16．如图，已知CO₁是△ABC的中线，过点O₁作O₁E₁∥AC交BC于点E₁，连接AE₁交CO₁于点O₂；过点O₂作O₂E₂∥AC交BC于点E₂，连接AE₂交CO₁于点O₃；过点O₃作O₃E₃∥AC交BC于点E₃，…，如此继续，可以依次得到点O₄，O₅，…，O_n和点E₄，E₅，…，E_n．则O_nE_n=$\frac{1}{n+1}$AC．（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析 先根据平行相似证明△BO₁E₁∽△BAC，列比例式得：$\frac{{O}_{1}{E}_{1}}{AC}=\frac{B{O}_{1}}{AB}$，再根据中点的定义得：BO₁=$\frac{1}{2}$AB，
所以O₁E₁=$\frac{1}{2}AC$，同理可得：O₂E₂=$\frac{1}{3}$AC，O₃E₃=$\frac{1}{4}$AC，…，O_nE_n=$\frac{1}{n+1}$AC．

解答 解∵O₁E₁∥AC，
∴△BO₁E₁∽△BAC，
∴$\frac{{O}_{1}{E}_{1}}{AC}=\frac{B{O}_{1}}{AB}$，
∵O₁是AB的中点，
∴BO₁=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{{O}_{1}{E}_{1}}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴O₁E₁=$\frac{1}{2}AC$，
∵O₁E₁∥AC，
∴△O₁E₁O₂∽△CAO₂，
∴$\frac{{O}_{1}{E}_{1}}{AC}=\frac{{E}_{1}{O}_{2}}{{E}_{1}A}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{E}_{1}{O}_{2}}{{E}_{1}A}$=$\frac{1}{3}$，
∵O₂E₂∥AC，
∴△E₁O₂E₂∽△E₁AC，
∴$\frac{{O}_{2}{E}_{2}}{AC}=\frac{{E}_{1}{O}_{2}}{{E}_{1}A}$=$\frac{1}{3}$，
∴O₂E₂=$\frac{1}{3}$AC，
同理得：$\frac{{O}_{3}{E}_{3}}{AC}=\frac{{E}_{2}{O}_{3}}{{E}_{2}A}$=$\frac{1}{4}$，
O₃E₃=$\frac{1}{4}$AC，
…
∴O_nE_n=$\frac{1}{n+1}$AC，
故答案为：$\frac{1}{n+1}$．

点评 本题考查了三角形相似的性质和判定，熟练掌握平行相似的判定是本题的关键，也可以利用中位线定理得出第一个结论．