Question

8．如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为1或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，得出AM=BN=$\frac{1}{2}$AD=1，由勾股定理得到A′N=0，求得A′M=1，再由勾股定理解得A′E即可；
②过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′=30°，由三角函数求出AE=A′E=A′B×tan30°；即可得出结果．

解答 解：分两种情况：
①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，
则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，
∴AM=BN=$\frac{1}{2}$AD=1，
∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，
∴A′E=AE，A′B=AB=1，
∴A′N=$\sqrt{A′{B}^{2}-B{N}^{2}}$=0，即A′与N重合，
∴A′M=1，
∴A′E²=EM²+A′M²，
∴A′E²=（1-A′E）²+1²，
解得：A′E=1，
∴AE=1；
②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，
则直线PQ是矩形ABCD 的对称轴，
∴PQ⊥AB，AP=PB，AD∥PQ∥BC，
∴A′B=2PB，
∴∠PA′B=30°，
∴∠A′BC=30°，
∴∠EBA′=30°，∴AE=A′E=A′B×tan30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
综上所述：AE的长为1或$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
故答案为：1或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键．