Question

20．如图，将矩形纸片P折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=8，BC=4．则：
（1）AE=5；
（2）EF=2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）连接CE，设AE=CE=x，在直角三角形BCE中，根据勾股定理列方程求解即可；
（2）先根据ASA判定△COF≌△AOE，得出OE=OF，再根据勾股定理，在直角三角形AOE中求得OE的长，最后计算EF的长．

解答 解：（1）连接CE，由折叠可知AC被EF垂直平分
∴AE=CE
设AE=CE=x，则BE=8-x
在直角三角形BCE中，BC²+BE²=CE²
即4²+（8-x）²=x²
解得x=5
∴AE=5
（2）在直角三角形ABC中，AC=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=$4\sqrt{5}$
设EF与AC交于点O，则∠COF=∠AOE，AO=CO=$2\sqrt{5}$
∵AB∥CD
∴∠FCO=∠EAO
在△COF和△AOE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠EAO}\\{CO=AO}\\{∠COF=∠AOE}\end{array}\right.$
∴△COF≌△AOE（ASA）
∴OE=OF
∵直角三角形AOE中，OE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴EF=$2\sqrt{5}$
故答案为：（1）5；（2）$2\sqrt{5}$

点评 本题主要考查了翻折变换，解决问题的关键是掌握勾股定理以及全等三角形的判定方法．本题解法不唯一，也可以根据△ABC与△AOE相似来进行求解．