Question

16．如图，抛物线y=ax²-$\frac{3}{2}$x-2（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PB+PC的和最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点B的坐标代入代入抛物线的解析式，可求得a的值，将a的值代入可求得抛物线的解析式；
（2）先求得点C的坐标，然后依据待定系数法求得直线BC的解析式，然后再求得抛物线的对称轴方程，由三角形的三边关系可知当点P、C、B在一条直线上时，PC+PB有最小值，最后将点P的横坐标代入直线BC的解析式可求得点P的纵坐标；
（3）过点M作MD⊥x轴，交直线BC与点D．设点M（a，$\frac{1}{2}{a}^{2}-\frac{3}{2}a-2$），则点D（a，$\frac{1}{2}a-2$）．于是可求得DM的长（用含a的式子表示），接下来，依据三角形的面积公式得到△CMB的面积与a的函数关系式，最后依据配方法可求得△CMB的面积的最大值以及点a的值．

解答 解：（1）∵将点B的坐标代入得：16a-6-2=0，解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$．
（2）如图1所示：

∵PC+PB≥BC，
∴当点P、C、B在一条直线上时，PC+PB有最小值．
∵令x=0得；y=-2，
∴点C的坐标为（0，-2）．
设直线BC的解析式为y=kx+b．
∵将点B、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{2}$，b=-2，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}x$-2．
∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2×\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴点P的横坐标为$\frac{3}{2}$．
∵将x=$\frac{3}{2}$代入直线BC的解析式得；y=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$-2=-$\frac{5}{4}$，
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．
（3）过点M作MD⊥x轴，交直线BC与点D．

设点M（a，$\frac{1}{2}{a}^{2}-\frac{3}{2}a-2$），则点D（a，$\frac{1}{2}a-2$）．DM=$\frac{1}{2}a-2$-（$\frac{1}{2}{a}^{2}-\frac{3}{2}a-2$）=-$\frac{1}{2}$a²+2a．
∵△CMB的面积=$\frac{1}{2}$MD•OB=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$a²+2a）=-a²+4a=-（a-2）²+4，
∴当a=2时，△CMB的面积有最大值，△CMB的最大面积=4．
∴点M（2，-3）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、三角形的面积公式、配方法求二次函数的最值，列出△CMB的面积与a的函数关系式是解题的关键．