Question

如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），顶点为D（1，4），对称轴为DE．
（1）抛物线的解析式是

 

；
（2）如图（2），点P是AD上一个动点，P′是P关于DE的对称点，连接PE，过P′作P′F∥PE交x轴于F．设S_{四边形EPP′P}=y，EF=x，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线经过点C可求得c=3，再根据抛物线经过A，B点，即可求得a、b的值，即可解题；
（2）令PP′交DE于G，易证四边形FEPP′是平行四边形，可得PP′=EF，易证△DPP′∽△DAB，可得

PP′

AB

=

DE-GE

DE

，设EF=x，可得GE=4-x，即可求得y关于x的二次函数解析式，求得最大值即可解题；
（3）假设存在满足条件的点Q（x，y），作OH⊥BC于H，易证Rt△BCQ的另一直角边所在的直线可以由直线OH向上或向右平移3个单位得到，即可求得过Q点直线的解析式，即可解题．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点C，
则c=3，
∵抛物线经过A，B两点，∴

9a+3b+3=0 a-b+3=0

解得：a=-1，b=2，
故答案为 y=-x²+2x+3；
（2）令PP′交DE于G，

∵PP′∥AF，PE∥FP′，
∴四边形FEPP′是平行四边形，
∴PP′=EF，
∴△DPP′∽△DAB，
∴

PP′

AB

=

DE-GE

DE

，
又∵A（-1，0）、B（3，0）、D（1，4），EF=x，
∴AB=4，DE=4，PP′=x，
∴

x

4

=

4-GE

4

∴GE=4-x，
又∵S_{四边形EPP'F}=EF•GE，
∴y=x（4-x）
∴y=x（4-x）=-（x-2）²+4，x=2时，y的最大值是4．
（3）假设存在满足条件的点Q（x，y），
作OH⊥BC于H，
∵Rt△BCQ中BC是直角边，
∴Rt△BCQ的另一直角边与OH平行．
又∵OC=OB，CO⊥OB，OB=3，OC=3，
∴Rt△BCQ的另一直角边所在的直线可以由直线OH向上或向右平移3个单位得到（如图）．

由已知得直线OH的解析式是y=x，
∴Rt△BCQ的另一直角边所在的直线解析式是：y=x+3或 y=x-3
①点Q为直线y=x+3和抛物线交点，
则

y=x+3 y=-x2+2x+3

，
解得：x=1，
∴y=4；
②点Q为直线y=x-3和抛物线交点，
则

y=x-3 y=-x2+2x+3

，
解得：x=-2，
∴y=-5，
∴存在满足条件的点Q的坐标是：（1，4）和（-2，-5）．

点评：本题考查了抛物线解析式的求解，考查了二次函数最值的求解，考查了抛物线和直线交点的求解，本题中正确求得抛物线解析式是解题的关键．