如图.在平面直角坐标系中.直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$与抛物线y=-$\frac{1}{4}$x2+bx+c交于A.B两点.点A在x轴上.点B的横坐标为-8．(1)求该抛物线的解析式,(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点.过点P作x轴的垂线.垂足为C.交直线AB于点D.作PE⊥AB于点E.设△PDE的周长为l.点P的横坐标为x.求l关于x的函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$与抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E，设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．

分析（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根据直线k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答．

解答解：（1）令y=0，则$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$=0，解得x=2，
x=-8时，y=$\frac{3}{4}$×（-8）-$\frac{3}{2}$=-$\frac{15}{2}$，
∴点A（2，0），B（-8，-$\frac{15}{2}$），
把点A、B代入抛物线得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}×{2}^{2}+2b+c=0}\\{-\frac{1}{4}×（-8）^{2}-8b+c=-\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{4}}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$；
（2）∵点P在抛物线上，点D在直线上，
∴P点坐标为（x，-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$），D点坐标为（x，$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$），
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点
∴PD=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$-（$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4，
∵PE⊥AB，
∴∠DPE+∠PDE=90°，
又∵PD⊥x轴，
∴∠BAO+∠PDE=90°，
∴∠DPE=∠BAO，
∵D在直线AB上，
∴$\frac{DC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠BAO=$\frac{3}{5}$，cos∠BAO=$\frac{4}{5}$，
∴PE=PDcos∠DPE=$\frac{4}{5}$PD，
DE=PDsin∠DPE=$\frac{3}{5}$PD，
∴△PDE的周长为l=PD+$\frac{4}{5}$PD+$\frac{3}{5}$PD=$\frac{12}{5}$PD=$\frac{12}{5}$（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4-）=-$\frac{3}{5}$x²-$\frac{18}{5}$x+$\frac{48}{5}$，
即l=-$\frac{3}{5}$x²-$\frac{18}{5}$x+$\frac{48}{5}$；
∵l=-$\frac{3}{5}$x²-$\frac{18}{5}$x+$\frac{48}{5}$=-$\frac{3}{5}$（x+3）²+15，
∴当x=-3时，l最大值为15．