Question

7．如图，⊙O中，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，过P作PQ⊥AP，且与⊙O相切于Q，若OP=4，∠APO=30°，则PA的长是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{13}$
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 连接OQ，过O点作OC⊥AB与点C，由PQ⊥OQ，PQ⊥AP，OC⊥AB可得出四边形COQP为矩形，结合OP=4，∠APO=30°可算出OC和CP的长度，在Rt△ACO中，由OA与OC的长度结合勾股定理可得出AC的长度，AC+CP即可得出结论．

解答 解：连接OQ，过O点作OC⊥AB与点C，如图所示．

∵PQ与⊙O相切于Q，
∴PQ⊥OQ，
∵PQ⊥AP，OC⊥AB，
∴四边形COQP为矩形，
∵OP=4，∠APO=30°，
∴OC=2，CP=OQ=OA=2$\sqrt{3}$．
在Rt△ACO中，OC=2，OA=2$\sqrt{3}$，∠ACO=90°，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AP=AC+CP=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$．
故选A．

点评 本题考查了切线的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是求出线段AC和线段CP的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该类型题目时，根据切线的性质以及垂径定理得出线段间的关系是关键．