Question

15．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=6，E为BC延长线上一点，且EC=$\frac{25}{4}$，过点E作EF⊥AB交AB于F，将△ABC沿AB翻折，得到△ABD，将△ABD绕点B旋转，在旋转过程中，记旋转中△ABD为△A′B′D′．设直线A′D′与射线EF交于点M，与射线EB交于点N，当△EMN是以∠MEN为底角的等腰三角形时，EN=13或$\frac{37}{4}$+3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 情形1：如图1中，当∠BEF=∠NME时，易证BN=NA′，设BN=NA′=x，在RT△BND′利用勾股定理即可解决问题．情形2：如图2中，当∠MEN=∠MNE时，证明BN=BA′即可解决问题．

解答 解：如图1中，当∠BEF=∠NME时，
∵∠BEF+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠BEF=∠A=∠BA′D′=∠NME，
∴BA′∥EM，
∴∠NBA′=∠BEF=∠BA′N，
∴NB=NA′，设BN=NA′=x，
在RT△BND′中，∵BD′²+ND′²=BN²，
∴3²+（6-x）²=x²，
x=$\frac{15}{4}$，
∴EN=EB+BN=EC+BC+BN=$\frac{25}{4}$+3+$\frac{15}{4}$=13，
如图2中，当∠MEN=∠MNE时，
∵∠MEN=∠BAC=∠BA′N=∠A′NE，
∴BA′=BN=AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴EN=EC+BC+BN=$\frac{25}{4}$+3=3$\sqrt{5}$=$\frac{37}{4}$+3$\sqrt{5}$．
故答案为13或$\frac{37}{4}$+3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查旋转的性质、勾股定理、平行线的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论的思想，小心漏解，属于中考常考题型．