Question

6．如图，在?ABCD中，∠ADC、∠DCB的平分线分别交边AB于点F，E．
（1）若AB=5，BC=3，求EF的长；
（2）若BC=3，EF=1，求AB的长；
（3）若BC=a，AB=b，且a＜b，求点E、F之间的距离．（用含a、b的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出∠AFD=∠ADF，进而得到AF=AD=BC=3，同理可得，BE=CB=3，最后根据EF=BE+AF-AB进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出∠BCE=∠BEC，进而得到BC=BE=3，再根据EF=1，求得BF=3-1=2，同理可得，AD=AF=3，最后根据AB=AF+BF进行计算即可；
（3）根据角平分线的定义以及平行线的性质，∠AFD=∠ADF，进而得出AF=AD=BC=a，同理可得，BE=CB=a，得出AE=AB-BE=b-a，最后得到EF=|AF-AE|=|a-b+a|=|2a-b|．

解答 解：（1）∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
又∵AB∥CD，
∴∠AFD=∠CDF，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AF=AD=BC=3，
同理可得，BE=CB=3，
∴EF=BE+AF-AB=3+3-5=1；

（2）∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
又∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠BEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BC=BE=3，
∵EF=1，
∴BF=3-1=2，
同理可得，AD=AF=3，
∴AB=AF+BF=3+2=5；

（3）∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
又∵AB∥CD，
∴∠AFD=∠CDF，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AF=AD=BC=a，
同理可得，BE=CB=a，
∴AE=AB-BE=b-a，
∴EF=|AF-AE|=|a-b+a|=|2a-b|．

点评 此题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识的综合应用，解决问题的关键是找出线段之间的关系：EF=BE+CF-BC．