Question

1．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转得到△EDC，此时点B的对应点D恰好落在边AB上，连接AE，则AE的长为$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理求出AB，根据旋转的性质得出BC=CD=3，DE=AB=5，AC=CE=4，∠BAC=∠DEC，∠BCA=∠DCE=90°，根据相似三角形的判定得出△BCD∽△ACE，求出AE=$\frac{4}{3}$BD，根据勾股定理求出BD，即可求出答案．

解答 解：由勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转得到△EDC，此时点B的对应点D恰好落在边AB上，
∴BC=CD=3，DE=AB=5，AC=CE=4，∠BAC=∠DEC，∠BCA=∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{4}{3}$，
∴△BCD∽△ACE，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{4}{3}$，
设BD=x，则AE=$\frac{4}{3}$x，
∵∠BAC=∠DEC，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠BAE=180°-∠DCE=90°，
在Rt△DAE中，由勾股定理得：AD²+AE²=DE²，
（5-x）²+（$\frac{4}{3}$x）²=5²，
解得：x=$\frac{9}{5}$，
AE=$\frac{4}{3}$x=$\frac{12}{5}$，
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出AE=$\frac{4}{3}$BD是解此题的关键．