Question

11．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，连接DE，作CF⊥DE于点H，H交边AB于点F，连接OE，OF．
（1）求证：CE=BF；
（2）试判断线段OE与OF的数量关系和位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明△DCE≌△CBF，即可推出CE=BF；、
（2）结论：OE=OF，OE⊥OF．只要证明△OCE≌△OBF，即可推出OE=OF，∠COE=∠BOF，推出∠EOF=∠BOC=90°；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠DCE=∠CBF=90°，
∵DE⊥CF，
∴∠HCE+∠CEH=90°，∠CEH+∠CDE=90°，
∴∠BCF=∠EDC，
在△DCB和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠BCF}\\{CD=CB}\\{∠DCB=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△CBF，
∴CE=BF．

（2）结论：OE=OF，OE⊥OF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠OCE=∠OBF=45°，AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
在△OCE和△OBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠OCE=∠OBF}\\{CE=BF}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△OBF，
∴OE=OF，∠COE=∠BOF，
∴∠EOF=∠BOC=90°，
∴OE⊥OF．

点评 此题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．