Question

16．在△ABC中，BC边上的高AD=4，若BC=4，则△ABC周长最小值是4$\sqrt{5}$+4．

Answer 1

分析 设AB=x，则DC=4-x．根据勾股定理得出△ABC的周长=AB+AC+BC=$\sqrt{{x}^{2}+{4}^{2}}$+$\sqrt{（4-x）^{2}+{4}^{2}}$+4．由于当AB+AC和最小，即$\sqrt{{x}^{2}+{4}^{2}}$+$\sqrt{（4-x）^{2}+{4}^{2}}$的和最小时，△ABC周长最小，所以将式子$\sqrt{{x}^{2}+{4}^{2}}$+$\sqrt{（4-x）^{2}+{4}^{2}}$转化为在x轴上求P（x，0）到二点M（0，4）与N（4，4）的距离之和的最小值，关键轴对称的性质PM+PN的最小值即为M′（0，-4）与N（4，4）的线段长度，求出M′N即可求解．

解答 解：如图，设AB=x，则DC=4-x．
△ABC的周长=AB+AC+BC
=$\sqrt{{x}^{2}+{4}^{2}}$+$\sqrt{（4-x）^{2}+{4}^{2}}$+4．
∵当AB+AC和最小，即$\sqrt{{x}^{2}+{4}^{2}}$+$\sqrt{（4-x）^{2}+{4}^{2}}$的和最小时，△ABC周长最小，
∴将式子$\sqrt{{x}^{2}+{4}^{2}}$+$\sqrt{（4-x）^{2}+{4}^{2}}$转化为在x轴上求P（x，0）到二点M（0，4）与N（4，4）的距离之和最小值，
而P（x，0）到二点M（0，4）与N（4，4）的距离之和最小值为M′（0，-4）与N（4，4）的线段长度，
∵M′N=$\sqrt{{4}^{2}+（4+4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴周长△ABC的周长最小值为4$\sqrt{5}$+4．
故答案为4$\sqrt{5}$+4．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，三角形的周长，两点间的距离公式．理解求AB+AC的最小值即为在x轴上求P（x，0）到二点M（0，4）与N（4，4）的距离之和的最小值是解题的关键．