Question

15．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，⊙O的半径为2，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）若要证明CD是⊙O的切线，只需证明CD与半径垂直，故连接OE，证明OE∥AD即可；
（2）分别利用角C的余弦值和正切值，可得出CE和CD，从而即可得出DE的长．

解答 证明：（1）连接OE．
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
又∵∠DAE=∠OAE，
∴∠OEA=∠DAE，
∴OE∥AD，
∴∠ADC=∠OEC，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
故∠OEC=90°．
∴OE⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．

（2）∵tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠C=30°，
又∵OE=2，
∴OC=4，AC=6，
在Rt△OCE中，tanC=$\frac{OE}{CE}$，
∴CE=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，cosC=$\frac{CD}{AC}$，
CD=3$\sqrt{3}$
∴DE=CD-CE=3$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了切线的性质和应用，同时也考查了三角函数知识点的应用和平行线的性质，具有一定的综合性，但难度不是太大．