Question

16．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=-$\frac{2}{x}$，y=$\frac{8}{x}$的图象交于B、A两点，则tan∠OAB的值的变化趋势为：（　　）

• A． 逐渐变小
• B． 逐渐变大
• C． 时大时小
• D． 保持不变

Answer 1

分析 作辅助线；首先证明△BOM∽△OAN，得到$\frac{BM}{ON}$=$\frac{OM}{AN}$；设B（-m，$\frac{2}{m}$），A（n，$\frac{8}{n}$），得到BM=$\frac{2}{m}$，AN=$\frac{8}{n}$，OM=m，ON=n，进而得到mn=$\frac{16}{mn}$，mn=4，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=$\frac{1}{2}$为定值，即可解决问题．

解答 解：如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴；
∵∠AOB=90°，
∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BOM=∠OAN，
∵∠BMO=∠ANO=90°，
∴△BOM∽△OAN，
∴$\frac{BM}{ON}$=$\frac{OM}{AN}$；
设B（-m，$\frac{2}{m}$），A（n，$\frac{8}{n}$），
则BM=$\frac{2}{m}$，AN=$\frac{8}{n}$，OM=m，ON=n，
∴mn=$\frac{16}{mn}$，mn=$\sqrt{16}$=4；
∵∠AOB=90°，
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$①；
∵△BOM∽△OAN，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{BM}{ON}$=$\frac{\frac{2}{m}}{n}$=$\frac{2}{mn}$=$\frac{1}{2}$②，
由①②知tan∠OAB=$\frac{1}{2}$为定值，
∴∠OAB的大小不变，
故选：D．

点评 该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．