Question

1．已知：等边△ABC的边长为4，点P在线段AB上，点D在线段AC上，且△PDE为等边三角形，当点P与点B重合时（如图1），AD+AE的值为4；
[类比探究]在上面的问题中，如果把点P沿BA方向移动，使PB=1，其余条件不变（如图2），AD+AE的值是多少？请写出你的计算过程；
[拓展迁移]如图3，△ABC中，AB=BC，∠ABC=a，点P在线段BA延长线上，点D在线段CA延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=a，设AP=m，则线段AD、AE有怎样的等量关系？请用含m，a的式子直接写出你的结论．

Answer 1

分析 （1）只要证明△EPA≌△DPC，即可推出AE=CD，可得AD+AE=AD+DC=AC=4；
（2）[类比探究]：如图2中，作PK∥BC交AC于K．连接AE．利用（1）中的结论即可解决问题；
（3）[拓展迁移]：如图3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一点K，使得PK=PA．由△PDK≌△PEA，推出DK=AE，推出AD-AE=AK=2AJ=2•m•sin$\frac{α}{2}$即可解决问题；

解答 （1）解：如图1中，

∵△PDE．△PAC都是等边三角形，
∴PE=PD，PA=PC，∠EPD=∠APC=60°，
∴∠EPA=∠DPC，
∴△EPA≌△DPC，
∴AE=CD，
∴AD+AE=AD+DC=AC=4．

（2）[类比探究]：解：AD+AE=3
理由：如图2中，作PK∥BC交AC于K．连接AE．

易证△PAK是等边三角形，
由上面题目可知．AE+AD=AK=3．

（3）[拓展迁移]：解：如图3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一点K，使得PK=PA．

易证∠APK=∠DPE=α，
∵PD=PE，PK=PA，
∴∠DPK=∠EPA，
∴△PDK≌△PEA，
∴DK=AE，
∴AD-AE=AK=2AJ=2•m•sin$\frac{α}{2}$．
∴AD-AE=2m•sin$\frac{α}{2}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．