Question

6．在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC于F，连接EF．
（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；
（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长$\sqrt{3}$倍的所有线段．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形AEFG是平行四边形，再证明AE=AG即可．
（2）先证明AB=$\sqrt{3}$AG，再分别证明AB=BF=CF=EM，CM=AG即可．

解答 （1）证明：∵AD⊥BC，GF⊥BC，
∴∠ADF=∠GFC=90°，
∴AE∥GF，
在△ABG和△FBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠BFG}\\{∠ABG=∠FBG}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△FBG，
∴AG=FG，
∵∠FBG+∠BED=90°，
∵∠BED=∠AEG，
∴∠FBG+∠AEG=90°，
∵∠ABG+∠AGE=90°，
∵∠ABG=∠FBG，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
∴AE=FG，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE=AG∴四边形AEFG是菱形．
（2）解：∵四边形AEFG是菱形，
∴AE=AG，
∵BE=EG，∠BAG=90°，
∴AE=BE=EG，
∴△AEG是等边三角形，
∴∠AGE=60°，
在RT△ABG中，∵∠ABG=30°，
∴AB=$\sqrt{3}$AG，
∵∠C=30°，∴BC=2AB，
∴BE=GE，EF∥AC，EM∥BC，
∴BF=FC，CM=GM，
在RT△AEM中，∵∠AME=∠C=30°，∠GEM+∠GME=60°，
∴∠GEM=∠GME=30°，
∴EG=AG=GM=CM，
∵EM∥FC，EF∥CM，
∴四边形EFCM是平行四边形，
∴AB=BF=CF=EM=$\sqrt{3}$CM，
∴是CM长$\sqrt{3}$倍的所有线段有AB、BF、CF、EM．

点评 本题考查菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的性质等知识，寻找全等三角形是解题的关键，必须熟练掌握特殊三角形边角关系，属于中考常考题型．