Question

如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，PF∥GH，求证：GH⊥EG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠AEF=∠2，得到AB∥CD．
（2）证明PF⊥GE，此为解题的关键性结论；由PF∥GH，得到GH⊥EG．
（3）证明∠FPH=∠KPH（设为α）；证明∠KPQ=45°+α，此为解题的关键性结论；即可解决问题．

解答：解：（1）∵∠1+∠AEF=180°，
∠1+∠2=180°，
∴∠AEF=∠2，
∴AB∥CD．
（2）∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠EFC=180°；
∵∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，
∴∠PEF+∠PFE=90°，即PF⊥GE；
∵PF∥GH，
∴GH⊥EG．
（3）∵PF∥GH，
∴∠FPH=∠PHK，而∠PHK=∠HPK，
∴∠FPH=∠KPH（设为α）；
∵PQ平分∠EPK，
∴∠KPQ=

90°+2α

2

=45°+α，
∴∠HPQ=45°+α-α=45°，
即∠HPQ的大小不会发生变化．

点评：该题主要考查了平行线的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握定理内容，灵活运用定理来分析、判断、解答．