Question

如图，一次函数y=kx+3与反例函数y=

m

x

象交于点P，点P在第四象限，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S_△DBP=27，AO=3CO  
（1）求反比例函数的表达式；
（2）请写出当x取何值时，一次函数的值不大于反比例函数的值？
（3）点Q是反比例函数图象上一个动点，连AQ，PQ并把△APQ沿AP翻折得到四边形AQPG，求出使四边形AQPG为菱形时点Q的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）由一次函数y=kx+3与y轴的交点坐标为（0，3），可得OD=3，易得△ODC∽△BDP，又由AO=3CO，可求得BP的长，然后由_△DBP=27，求得BP的长，继而求得点P的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）首先将点P代入一次函数y=kx+3，求得k的值，然后联立两个函数的解析式，求得两个函数的另一个交点坐标，则可求得当x取何值时，一次函数的值不大于反比例函数的值；
（3）由菱形的判定定理可得：AM=PM=

1

2

AP=3，DM=GM=6，且GQ⊥AP时，四边形AQPG为菱形，即可求得点Q的坐标，再验证其在反比例函数图象上即可．

解答：解：（1）∵一次函数y=kx+3与y轴的交点坐标为（0，3），
∴OD=3，
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
∴四边形OBPA是矩形，
∴BP=OA，OC∥BP，
∴△ODC∽△BDP，
∴OD：BD=OC：BP，
∵AO=3CO，
∴OC：BP=1：3，
∴BD=2OD=9，
∵S_△DBP=

1

2

BP•BD=

1

2

×9×BP=27，
解得：BP=6，
∴点P的坐标为：（6，-6），
∴-6=

m

6

，
解得：m=-36，
∴反比例函数的解析式为：-

36

x

；

（2）将P（6，-6）代入y=kx+3得：6k+3=-6，
解得：k=-

3

2

，
∴一次函数的解析式为：y=-

3

2

x+3，
联立得：

y=- 3 2 x+3 y=- 36 x

，
解得：

x=-4 y=9

或

x=6 y=-6

，
∴当-4≤x＜0或x≥6时，一次函数的值不大于反比例函数的值；

（3）如图，设GQ与AP交于点M，当AM=PM=

1

2

AP=3，DM=GM，且GQ⊥AP时，四边形AQPG为菱形，
∴四边形OAGM是矩形，
∴GM=OA=6，
∴GQ=2GM=12，
∴点Q（12，-3），且点Q在反比例函数图象上．
∴点Q的坐标为：（12，-3）．

点评：此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求函数解析式、相似三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．