Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AC平分∠BCD．若BC=7，AC=4

2

，则线段CD的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：过A作AN⊥BC于N，AM⊥CD于M，根据角平分线性质和已知求出AM=AN，∠M=∠ANB=90°，∠1=∠2=45°，求出∠ABN=∠3，根据AAS推出△ANB≌△AMD，根据全等得出BN=DM，根据SAS推出△AMC≌△ANC，根据全等得出CM=CN，求出AM=MC=4，求出BN，即可得出答案．

解答：解：过A作AN⊥BC于N，AM⊥CD于M，

∵AC平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴AM=AN，∠M=∠ANB=90°，∠1=∠2=45°
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ABN+∠ADC=360°-90°-90°=180°，
∵∠3+∠ADC=180°，
∴∠ABN=∠3，
在△ANB和△AMD中

∠ABN=∠3 ∠ANB=∠M AN=AM

∴△ANB≌△AMD，
∴BN=DM，
在△AMC和△ANC中，

∠2=∠1 ∠M=∠ANC=90° AC=AC

，
∴△AMC≌△ANC（AAS），
∴CM=CN，
∵在Rt△AMC中，∠M=90°，∠2=45°，AC=4

2

，
∴AM=MC=4，
∴CN=CM=4，
∵BC=7，
∴BN=7-4=3，
∴CD=CM-DM=4-3=1，
故答案为：1．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理等知识点的应用，解此题的关键是求出CN=CM，BN=DM和求出各个线段的长．