Question

【问题提出】已知∠AOB=70°，∠AOD=

1

2

∠AOC，∠BOD=3∠BOC（∠BOC＜45°），求∠BOC的度数．
【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决．
（1）当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC的度数，解答过程如下：

设∠BOC=α，∴∠BOD=3∠BOC=3α，∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，∴∠AOD= 1 2 ∠AOC， ∴∠AOD=∠COD=2α，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°，∴α=14°，∴∠BOC=14°

问：当射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数；
【问题延伸】（2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数．
【问题解决】综上所述：∠BOC的度数分别是

 

．

Answer 1

考点：角的计算

专题：分类讨论

分析：（1）②由已知条件得出∠COD、∠AOD、∠AOB与∠BOC的关系，求出∠BOC的度数；
（2）分类讨论，根据∠AOD、∠BOD．∠AOB与∠BOC的关系，得出∠BOC的度数．

解答：解：（1）②设∠BOC=α，则∠BOD=3α，②若射线OD在∠AOB外部，
如图2：∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，
∵∠AOD=

1

2

∠AOC，
∴∠AOD=

1

3

∠COD=

2

3

α，
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-

2

3

α=

7

3

α=70°，
∴α=30°．
∴∠BOC=30°；
（2）当射线OC在∠AOB外部时，根据题意，此时射线OC靠近射线OB，
∵∠BOC＜45°，∠AOD=

1

2

∠AOC，
∴射线OD的位置也只有两种可能；
①若射线OD在∠AOB内部，如图3所示，
则∠COD=∠BOC+∠COD=4α，
∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=3α+4α=7α=70°，
∴α=10°，
∴∠BOC=10°；
②若射线OD在∠AOB外部，如图4，
则∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，
∵∠AOD=

1

2

∠AOC，
∴∠AOD=

1

3

∠COD=

4

3

α，
∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-

4

3

α=

5

3

α=70°，
∴α=42°，
∴∠BOC=42°；
综上所述：∠BOC的度数分别是14°，30°，10°，42°．

点评：根据OC、OD的不同位置分类讨论∠BOC的计算方法；分类讨论是关键．