Question

如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD，垂足为P，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
（1）试判断四边形OFPE的形状；
（2）连结OP，如果⊙O的半径为5cm，OP=3

2

cm．求AB的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）连接OD．首先根据矩形的判定定理可以推知四边形OFPE是矩形；然后由已知条件AB=CD、垂径定理推知DF=BE，再由圆的半径OB=OD可以证得Rt△OFD≌Rt△OEB （HL），由全等三角形的对应边相等可以证得OF=OE；最后根据正方形的判定定理可知矩形OFPE是正方形．
（2）根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求得OE，然后根据勾股定理即可求得EB，进而求得AB的长．

解答：解：（1）四边形OFPE是正方形．            
理由：连接OD．
∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴四边形OFPE是矩形；                 
∵OF⊥CD，OE⊥AB，
∴DF=

1

2

CD，BE=

1

2

AB，
∵AB=CD，
∴DF=BE；
在Rt△OFD和Rt△OEB中，

DF=BE OD=OB

，
∴Rt△OFD≌Rt△OEB （HL）
∴OF=OE，
∴矩形OFPE是正方形．
（2）∵四边形OFPE是正方形，
∴△POE是等腰直角三角形，
∴OE=

OP2 2

=

(3 2 )2 2

=3，
∴EB=

OB2-OE2

=

52-32

=4，
∴AB=2EB=8．

点评：本题考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及正方形的判定．在解答（1）时，利用了“邻边相等的矩形是正方形”．