Question

如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边CD，DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点H
（1）判断线段AE，BF的位置关系，并说明理由；
（2）找出图中所有与△ABH相似的三角形．（不添加任何辅助线）

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定

专题：

分析：（1）根据正方形的性质得出∠BAF=∠D=90°，AB=AD=DC，求出DE=AF，根据SAS推出△BAF≌△ADE，根据全等得出∠ABF=∠DAE，求出∠AHB=90°即可；
（2）图中所有与△ABH相似的三角形是△FBA和△EAD，根据相似三角形的判定推出△ABH∽△FBA和△FBA≌△EAD即可．

解答：解：（1）AE⊥BF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠D=90°，AB=AD=DC，
∵CE=DF，
∴DE=AF，
在△BAF和△ADE中，

AB=AD ∠BAF=∠D AF=DE

，
∴△BAF≌△ADE（SAS），
∴∠ABF=∠DAE，
∵∠BAF=90°，
∴∠DAE+∠BAH=90°，
∴∠ABF+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF；

（2）图中所有与△ABH相似的三角形是△FBA和△EAD，
理由是：∵∠ABH=∠ABF，∠AHB=∠BAF=90°，
∴△ABH∽△FBA，
∵△FBA≌△EAD，
∴△ABH∽△EAD．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，相似三角形的判定的应用，解此题的关键是求出△ABH∽△FBA，△FBA≌△EAD，综合性比较强，难度适中．