Question

3．如图，直线AB与⊙O相交于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠BCE交⊙O于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为点G，连接DF．
（1）求证：FG是⊙O切线；
（2）已知⊙O的直径为8，CG=3，求sin∠CDF的值．

Answer 1

分析 （1）连接OF，由角平分线定义和等腰三角形的性质得出∠FCG=∠OFC．证出OF∥BC．由FG⊥AB，得出FG⊥OF，即可得出结论．
（2）连接EF，由圆周角定理得出∠CFE=90°，∠CDF=∠E，证明△CEF∽△CFG，得出对应边成比例求出CF=2$\sqrt{6}$；在Rt△CEF中，由三角函数定义求出sinE=$\frac{CF}{CE}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，即可得出in∠CDF=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

解答 （1）证明：连接OF．如图1所示：
∵CF平分∠BCE，
∴∠FCG=∠ECF．
∵OC=OF，
∴∠ECF=∠OFC，
∴∠FCG=∠OFC．
∴OF∥BC．
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
∴FG是⊙O的切线．
（2）解：连接EF．
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CFE=90°．
∵FG⊥AB，
∴∠FGC=90°．
∵∠FCG=∠ECF，
∴△CEF∽△CFG，
∴$\frac{CG}{CF}=\frac{CF}{CE}$，即$\frac{3}{CF}=\frac{CF}{8}$．
解得：CF=2$\sqrt{6}$；
在Rt△CEF中，sinE=$\frac{CF}{CE}$=$\frac{2\sqrt{6}}{8}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∵∠CDF=∠E，
∴sin∠CDF=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的判定、相似三角形的判定与性质以及三角函数定义等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解决问题的关键．