Question

如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y=x²-4x+3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上．

（1）请直接写出下列各点的坐标：A

 

，B

 

，C

 

，D

 

；
（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2．
①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；
②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题,矩形的性质,相似三角形的性质

专题：压轴题

分析：（1）令x=0，得到点A的坐标，再根据点A的纵坐标得到点B的坐标，根据抛物线的顶点式和矩形的性质可得C．D的坐标；
（2）①根据待定系数法可得直线BD的解析式，设点P的坐标为（x，x²-4x+3），则点H（x，x-1），点G（x，3）．分三种情况：1°当x≥1且x≠4时；2°当0＜x＜1时；3°当x＜0时；三种情况讨论可得点P的坐标；
②根据相似三角形的性质可得s△KPH=

3

4

PH2=

3

4

(-x2+5x-4)2，再根据二次函数的增减性可得△KPH面积的最大值．

解答：解：（1）A（0，3），B（4，3），C（4，-1），D（0，-1）． 
 
（2）①设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），由于直线BD经过D（0，-1），B（4，3），
∴

-1=b 3=4k+b

，
解得

k=1 b=-1

，
∴直线BD的解析式为y=x-1．
设点P的坐标为（x，x²-4x+3），则点H（x，x-1），点G（x，3）．
1°当x≥1且x≠4时，点G在PH的延长线上，如图①．
∵PH=2GH，
∴（x-1）-（x²-4x+3）=2[3-（x-1）]，
∴x²-7x+12=0，
解得x₁=3，x₂=4．
当x₂=4时，点P，H，G重合于点B，舍去．
∴x=3．
∴此时点P的坐标为（3，0）．         

2°当0＜x＜1时，点G在PH的反向延长线上，如图②，PH=2GH不成立．
3°当x＜0时，点G在线段PH上，如图③．
∵PH=2GH，
∴（x²-4x+3）-（x-1）=2[3-（x-1）]，
∴x²-3x-4=0，解得x₁=-1，x₂=4（舍去），
∴x=-1．此时点P的坐标为（-1，8）．
综上所述可知，点P的坐标为（3，0）或（-1，8）．      

②如图④，令x²-4x+3=0，得x₁=1，x₂=3，

∴E（1，0），F（3，0），
∴EF=2．
∴S_△AEF=

1

2

EF•OA=3．      
∵△KPH∽△AEF，
∴

s△KPH

s△AEF

=(

PH

EF

)2，
∴s△KPH=

3

4

PH2=

3

4

(-x2+5x-4)2．  
∵1＜x＜4，
∴当x=

5

2

时，s_△KPH的最大值为

243

64

．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上的点的坐标特征，抛物线的顶点式，矩形的性质，待定系数法求直线的解析式，相似三角形的性质，二次函数的增减性，分类思想，综合性较强，有一定的难度．．