Question

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD于点E，AB=6，AC=10，则DE=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：如图，作辅助线；求出线段BE、CF、BG的长度；运用S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，求出AD的长度，即可解决问题．

解答：解：如图，过点B作BG⊥AC于点G；
过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F；
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，BE⊥AE，
∴∠BAE=30°，BE=

1

2

AB=3，AE=3

3

，BG=AB•sin60°=3

3

；
由角平分线的性质得：

BD

CD

=

AB

AC

=

6

10

①；
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴BE∥CF，△BDE∽△CDF，
∴

BE

CF

=

BD

CD

②，联立①②并求得：CF=5；
∵S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∴

1

2

AC•BG=

1

2

AD•BE+

1

2

AD•CF，
∴AD=

15 3

4

，DE=AD-AE=

15 3

4

-3

3

=

3 3

4

，
故答案为：

3 3

4

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，借助三角形的面积公式来分析、解答．