Question

如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D．连结DB，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：AD=CD；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：DB²=AB•BE．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质即可得到AD=CD；
（2）连结OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质得OD∥BC，由于DE⊥BC，根据平行线的性质即可得到DE⊥OD，然后利用切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；
（3）先根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠DBE，则根据相似三角形的判定得到△ABD∽△DBE，利用相似的性质得AB：BD=BD：BE，然后根据比例的性质变形即可得到结论．

解答：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵BA=BC，
∴BD为AC上的中线，
∴AD=CD；
（2）解：直线DE与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵AD=CD，
而AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线；
（3）证明：∵BA=BC，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE，
∵∠ADB=∠DEB=90°，
∴△ABD∽△DBE，
∴AB：BD=BD：BE，
∴BD²=AB•BE．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 也考查了相似三角形的判定与性质．