Question

如图1，已知双曲线y=-

2

x

，P是双曲线上一点，正方形PMNQ（点P、M、N、Q按逆时针排列）的顶点N在双曲线的另一个分支上
（1）若点P的横坐标是2，求点N的坐标；
（2）若改变点P的坐标，设直线PN的解析式为y=kx+b（k≠0），进行探究可得k=

 

，若点P的横坐标是m，则b=

 

；（用含m的代数式表示）
（3）根据（2）中的规律，若点P的横坐标是-3，请在图2中画出相应的图形，并求出点N的坐标和点M的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）把点P的横坐标代入反比例函数解析式来求点P的纵坐标；如图1，设正方形PMNQ的边长为a，且与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B．易求点N的坐标是：（a-2，a-1），所以把点N的坐标代入双曲线解析式列出关于a的方程，通过解方程求得a的值；
（2）根据正方形的性质∠ANO=45°，则∠AON=45°，易求k=-1．所以把点P的坐标代入即可求得b=m；
（3）依据（2）的规律，如果点P的横坐标为-3，则直线PN的解析式为y=-x-

7

3

，又点N（x，y）在反比例函数y=-

2

x

的图象上，故x•（-x-

7

3

）=-2，解此方程，求出x的值，进而得出点N和点M的坐标．

解答：解：（1）如图1，设正方形PMNQ的边长为a，且与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B．
∵点P在双曲线y=-

2

x

上，点P的横坐标是2．
∴点P的坐标是（2，-1）．
∴OB=2，BP=1，
∴AO=a-2．
易得AQ=1，AN=a-1．则N（2-a，a-1）
∵点N在双曲线y=-

2

x

上，
∴（2-a）（a-1）=-2，
解得，a₁=3，a₂=0（舍去）．
∴2-a=-1，a-1=2，
∴N（-1，2）；

（2）如图1，NP是正方形PMNQ的对角线，
∴∠ANO=45°，则∠AON=45°，
∴tan∠BON=1
可知不管P点在哪里，k=-1；
把x=m，y=-

2

m

代入y=-x+b，得
b=m-

2

m

．
故答案是：-1；m-

2

m

；

（3）所画图形如图2所示．
∵点P在双曲线y=-

2

x

上，点P的横坐标是-3．
∴点P的坐标是（-3，

2

3

）．
若点P的横坐标是-3时．
由（2）知，直线PN的解析式为y=-x-

7

3

，
则N（x，y）满足x•（-x-

7

3

）=-2，
解得x₁=-3（舍去），x₂=

2

3

则点N的坐标是（

2

3

，-3），点M的坐标是（-3，-3）．

点评：此题综合考查了反比例函数的性质，正方形等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．