Question

1．已知：正方形ABCD，AB=$\sqrt{2}$，点P满足PD=1，且∠BPD=90°，过点A作AM⊥BP，垂足为点M，则AM的长为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 分类讨论：当BP和BA在BD同旁，如图1，BP交AD于E，先证明Rt△ABE∽Rt△PDE，利用相似比得到BE=$\sqrt{2}$DE，设DE=x，则BE=$\sqrt{2}$x，AE=$\sqrt{2}$-x，再在Rt△ABE中利用勾股定理得到（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$-x）²=（$\sqrt{2}$x）²，解得x=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，则AE=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，BE=2$\sqrt{3}$-2，然后利用面积法求AM；当BP和BA在BD两旁，如图2，BP交CD于E，同样可证Rt△BCE∽Rt△DPE得到BE=$\sqrt{2}$DE，设DE=x，则BE=$\sqrt{2}$x，CE=$\sqrt{2}$-x，在Rt△BCE中，利用勾股定理得到（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$-x）²=（$\sqrt{2}$x）²，解得x=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，则BE=2$\sqrt{3}$-2，再证明Rt△ABM∽Rt△BEC，然后利用相似比可计算出AM．

解答 解：当BP和BA在BD同旁，如图1，BP交AD于E，
∵∠AEB=∠PED，
∴Rt△ABE∽Rt△PDE，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AB}{PD}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$，
∴BE=$\sqrt{2}$DE，
设DE=x，则BE=$\sqrt{2}$x，AE=$\sqrt{2}$-x，
在Rt△ABE中，（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$-x）²=（$\sqrt{2}$x）²，解得x=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴AE=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，BE=2$\sqrt{3}$-2，
∵$\frac{1}{2}$AM•BE=$\frac{1}{2}$AB•AE，
∴AM=$\frac{\sqrt{2}（2\sqrt{2}-\sqrt{6}）}{2\sqrt{3}-2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$；
当BP和BA在BD两旁，如图2，BP交CD于E，同样可证Rt△BCE∽Rt△DPE得到BE=$\sqrt{2}$DE，
设DE=x，则BE=$\sqrt{2}$x，CE=$\sqrt{2}$-x，
在Rt△BCE中，（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$-x）²=（$\sqrt{2}$x）²，解得x=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴BE=2$\sqrt{3}$-2，
∵∠CBE=∠BAM，
∴Rt△ABM∽Rt△BEC，
∴$\frac{AM}{BC}$=$\frac{AB}{BE}$，即$\frac{AM}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-2}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
综上所述，AM的长为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了相似三角形的判定与性质．