Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．点F在AC的延长线上，且∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=$\frac{1}{2}$，求BC和BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）解直角三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠CAB．
∵∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；

（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=$\frac{1}{2}$，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=$\frac{1}{2}$，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=5×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=5，
∴AB=AC=BC，
∴∠BAC=60°，
∴∠F=30°，
∴BF=$\sqrt{3}$AB=5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点．